Чтобы рассчитать вероятность того, что случайное трехзначное число, выбранное Валей, будет делиться на 51, нам необходимо понять, сколько трехзначных чисел делится на 51 и сколько всего трехзначных чисел существует.
Для начала, давайте определим, какие числа делятся на 51. Чтобы число делилось на 51, оно должно быть и делиться на 3, и делиться на 17.
Теперь давайте рассмотрим деление на 3. Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр также должна делиться на 3. Вспомним, что сумма цифр числа может быть равна 3, 4, 5, .., 18. Теперь посмотрим на таблицу:
| Сумма цифр числа | Числа с данной суммой цифр |
|---|---|
| 3 | 102, 201, 210 |
| 4 | 103, 130, 301, 310, 013, 031 |
| 5 | 104, 140, 401, 410, 014, 041, 023, 032, 203, 302, 320, 230 |
| 6 | 105, 150, 501, 510, 015, 051, 024, 042, 204, 240, 402, 420, 302, 320, 012, 021, 102, 201, 210 |
| 7 | 106, 160, 601, 610, 016, 061, 025, 052, 205, 250, 502, 520, 302, 320, 013, 031, 103, 301, 310 |
| 8 | 107, 170, 701, 710, 017, 071, 026, 062, 206, 260, 602, 620, 302, 320, 014, 041, 104, 401, 410 |
| 9 | 108, 180, 801, 810, 018, 081, 027, 072, 207, 270, 702, 720, 302, 320, 015, 051, 105, 501, 510 |
| 10 | 109, 190, 901, 910, 019, 091, 028, 082, 208, 280, 802, 820, 302, 320, 016, 061, 106, 601, 610 |
| 11 | 119, 191, 911, 029, 092, 209, 290, 902, 920, 302, 320, 017, 071, 107, 701, 710 |
| 12 | 129, 192, 921, 039, 093, 219, 291, 902, 920, 302, 320, 018, 081, 108, 801, 810 |
| 13 | 139, 193, 931, 048, 084, 238, 283, 902, 920, 302, 320, 019, 091, 109, 901, 910 |
| 14 | 149, 194, 941, 058, 085, 358, 385, 902, 920, 302, 320, 029, 092, 119, 911, 191 |
| 15 | 159, 195, 951, 069, 096, 459, 495, 902, 920, 302, 320, 039, 093, 129, 921, 192 |
| 16 | 169, 196, 961, 078, 087, 567, 576, 902, 920, 302, 320, 048, 084, 139, 931, 193 |
| 17 | 179, 197, 971, 089, 098, 678, 687, 902, 920, 302, 320, 058, 085, 149, 941, 194 |
| 18 | 189, 198, 981, 099, 198, 789, 798, 902, 920, 302, 320, 069, 096, 159, 951, 195 |
Мы видим, что сумма цифр числа может быть от 3 до 18, и для каждой суммы цифр существует определенное количество трехзначных чисел, делящихся на 3. Суммируя все эти значения, мы получим общее количество чисел, делящихся на 3.
Теперь рассмотрим деление на 17. Чтобы число делилось на 17, оно должно быть кратным 17. В трехзначном числе максимально возможное значение, которое делится на 17, равно 986 (17 * 58).
Теперь, чтобы найти общее количество трехзначных чисел, делящихся на 51, нам нужно найти общее количество чисел, делящихся на 3 и на 17, исключая повторения.
Для этого давайте рассмотрим каждую сумму цифр числа по отдельности и проверим, сколько чисел из каждой суммы цифр делятся на 17:
- Для суммы цифр, равной 3, нет чисел, делящихся на 17.
- Для суммы цифр, равной 4, есть одно число — 103.
- Для суммы цифр, равной 5, нет чисел, делящихся на 17.
- Для суммы цифр, равной 6, есть одно число — 105.
- Для суммы цифр, равной 7, есть одно число
— 119. - Для суммы цифр, равной 8, есть одно число — 136.
- Для суммы цифр, равной 9, есть одно число — 144.
- Для суммы цифр, равной 10, есть одно число — 153.
- Для суммы цифр, равной 11, нет чисел, делящихся на 17.
- Для суммы цифр, равной 12, нет чисел, делящихся на 17.
- Для суммы цифр, равной 13, нет чисел, делящихся на 17.
- Для суммы цифр, равной 14, нет чисел, делящихся на 17.
- Для суммы цифр, равной 15, нет чисел, делящихся на 17.
- Для суммы цифр, равной 16, нет чисел, делящихся на 17.
- Для суммы цифр, равной 17, есть одно число — 986.
- Для суммы цифр, равной 18, нет чисел, делящихся на 17.
Теперь мы знаем, сколько чисел из каждой суммы цифр будет делиться на 17.
Давайте соберем все полученные данные в таблицу:
| Сумма цифр числа | Числа с данной суммой цифр, делящиеся на 3 | Числа с данной суммой цифр, делящиеся на 17 | Числа с данной суммой цифр, делящиеся на 51 |
|---|---|---|---|
| 3 | 102, 201, 210 | — | — |
| 4 | 103, 130, 301, 310, 013, 031 | — | — |
| 5 | 104, 140, 401, 410, 014, 041, 023, 032, 203, 302, 320, 230 | — | — |